高斯光束的基本性质

高斯光束是傍轴亥姆霍兹方程的一个解，其功率主要集中在以光轴为中心的圆柱体内，而任何横向平面上的光强分布都满足圆对称高斯函数，其宽度在束腰处最小。此处忽略推导，直接给出高斯光束的复振幅：

以及高斯光束的四个重要参数：

复振幅表达式中包含A₀和z₀两个互相独立的参数，其中A₀是一个常数，z₀为瑞利长度，而两者都可根据边界条件确定。四个参数分别表示光束半径、曲率半径、相位和束腰半径，它们都可通过瑞利长度z₀和波长λ确定。

光束强度(I)光强是轴向位置z和径向位置ρ的函数：

其中I₀为A₀的平方。对于任意的z值，光强总是ρ的高斯函数，故名高斯光束，它的强度在轴上(ρ = 0)具有最大值，然后随ρ增大而减小。下图展示了归一化光强在三个轴向位置上随径向距离的变化。显然，光束尺寸随轴向距离增大而增大。

z = 0

z = z₀

z = 2z₀轴上光强(ρ = 0)可简化为：

它在z = 0时取最大值I₀，然后随z增大而逐渐减小，而在±z₀处减小为最大值的一半。当z远大于z₀时，轴上光强和z²成反比：

就整个高斯光束而言，中心处具有最大光强：

由于高斯光束的不均匀轮廓(峰值强度约为均匀光束强度的两倍)，因此分析激光是否可能损伤光学元件时，需要将高斯光强乘以2后计算最大线性功率密度(W/cm)，然后将结果与光学元件的损伤阈值进行对比，确保实际值小于阈值。

光束功率(P)总光功率是光强在任意横向平面上的积分：

因此，光束功率为峰值强度和束腰面积乘积的一半，并且和轴向位置无关。为了测量不同光源的功率，Thorlabs提供多种功率探头和表头，详见下面的光功率测量技术和选型指南视频。

对于给定的z值，半径为ρ₀的圆内包含的功率与总功率之比为：

当ρ₀ = W(z)时，圆内功率占比约为86%；当 ρ₀ = 1.5W(z)时，圆内功率占比约为99%。因此在实际应用中，光束直径应远小于光学元件的通光孔径，通常是将光束直径限制在反射镜直径的三分之一以内。

光束半径(W)在任意横向平面内，光束强度在光轴上具有最大值，在ρ = W(z)时降为最大值的1/e²，而以W(z)为半径的圆内包含了总功率的86%，因此我们将其称为光束半径或宽度，并可根据下式计算：

当z = 0时，光束半径具有最小值W₀。这个位置叫做束腰，而W₀为束腰半径。如下图所示，光束半径随轴向距离z增大而增大，并在瑞利距离处增大为束腰半径的√2倍；图中还展示了DOF(焦深)和半发散角。

光束发散当z远大于z₀时，光束半径和z近似成正比：

从上图可以看出，光束在半角为θ₀的圆锥内发散，而圆锥内的功率和总功率之比约为86%。这个角度叫做半发散角，它和波长成正比，和束腰半径成反比，因此方向性非常好的光束需具有短波长和大束腰。

焦深因为光束半径在z = 0时最小，所以最佳聚焦也在对应平面上。不管从哪个方向偏移，光束都将逐渐失焦。在光束半径不超过束腰半径√2倍的轴向距离内，即光束面积不超过束腰面积的2倍，这个距离叫做焦深。

焦深显然为瑞利距离的两倍：

由于焦深和束腰面积成正比，并且和波长成反比，因此只有短波长才可能同时具有小束腰和长焦深。比如，对于波长633 nm的氦氖激光器，当束腰半径为10 mm时，焦深约为1000 m；当束腰半径减小到10 µm时，焦深只有1 mm。

高斯光束相关视频第一个视频来自MIT激光和光学实验公开课，形象地演示了高斯光束的发散、空间滤波、激光散斑和瑞利距离等内容。

相位根据复振幅可知高斯光束的相位为：

当ρ = 0时，相位只包含两项：

其中第一项为平面波相位，而第二项是一个相位延迟：

这个相位(ζ)叫做古依相位(Gouy Phase)，相当于轴上位置的波前相对于平面波的超额延迟。如下图所示，古依相位的范围从-π/2到+π/2；当光波从负无穷远传播到正无穷远时，累积的总延迟等于π。古依相位的变化在焦深范围内最为明显，但在远离瑞利范围的区域内很小。

波前在前面的高斯光束相位表达式中，第三项是导致波前出现弯曲的原因，表示给定横向平面内离轴点相对于轴上点的相位偏差。在轴上z点处，高斯光束的波前曲率半径为：

当z = 0时，R为无穷大，所以波前是平面的，而整个波的方向是相同的。当z = z₀时，曲率半径降低到最小值2z₀，随后逐渐随z增大而增大。当z远大于z₀时，曲率半径约等于z，所以波前近似为球面。负方向的波前变化趋势相同，但方向相反。

习题解答

1. 高斯光束参数示例假设氦氖激光器输出波长633 nm、功率1 mW、束腰半径0.05 mm的高斯光束。a. 确定发散角、焦深以及传播35万千米(接近地球到月球的距离)时的直径。b. 确定等于z=0、z₀或2z₀时的波前曲率半径。c. 确定等于z=0或z₀时的轴上光强，并以W/cm²为单位表示。对于从z=0发射的100 W球面波，将其传播至z=z₀时强度和上述两点处的高斯光束强度进行对比。解 a. 根据相应的公式和数值：θ₀ = λ/(πW₀) = 4.03 mradz₀ = W₀/θ₀ = 12.4 mm当光束传播至35万千米时，光束直径为：2W = 2θ₀z = 2821 kmb. 波前曲率半径：R(z = 0) = ∞R(z = z₀) = 2z₀ = 25 mmR(z = 2z₀) = z[(1+(z₀/z)²] = 31 mmc. 光束中心的强度：I = I₀ = 2P/πW₀² = 25.46 W/cm²瑞利距离处的轴上强度：I = I₀[W₀/W]² = 0.5I₀ = 12.73 W/cm²当100 W球面波传播至z = 25 mm处时：

I = P/4πz² = 5.169 W/cm²

2. 根据光束半径和波前曲率确定其它参数假设高斯光束在某个点上的光束半径为W，而波前曲率半径为R。请证明从这个点到束腰的距离为：