非球面矢高计算器

🔬 非球面矢高计算器

输入非球面参数，计算指定口径处的矢高与最佳拟合半径

通口径 D

mm

曲率半径 R

mm

圆锥常数 k

—

二阶系数 A₂

mm⁻¹

四阶系数 A₄

mm⁻³

六阶系数 A₆

mm⁻⁵

八阶系数 A₈

mm⁻⁷

十阶系数 A₁₀

mm⁻⁹

十二阶系数 A₁₂

mm⁻¹¹

💡 非球面方程：z(r) = cr²/[1+√(1−(1+k)c²r²)] + A₂r² + A₄r⁴ + A₆r⁶ + A₈r⁸ + A₁₀r¹⁰ + A₁₂r¹²，其中 c = 1/R，r 为径向坐标

计算结果

边缘矢高

—

mm

最佳拟合半径

—

mm

非球面偏离量

—

mm

球面矢高

—

mm

曲率

—

mm⁻¹

面型类型

—

PARAMETER GUIDE

参数详解

理解非球面方程中各参数的物理含义

通口径

D

非球面元件的有效通光直径。半口径 y = D/2 即为计算矢高的径向位置。

单位：mm

工程意义：决定光束通过光学元件的实际区域，直接影响系统通光量和边缘像差。

曲率半径

R

非球面顶点处的曲率半径，决定面型的基础弯曲程度。曲率 c = 1/R。R 为正表示凸面，R 为负表示凹面。

单位：mm

工程意义：决定光学元件的基础聚焦/发散能力，是近轴光学设计的首要参数。

圆锥常数

k

决定面型的圆锥截面类型：k=0 为球面；k>0 为扁球面；k=-1 为抛物面；k<-1 为双曲面。

无量纲

面型分类：球面 k=0 | 椭球面 k>0 | 抛物面 k=-1 | 双曲面 k<-1

高阶非球面系数

A₂ ~ A₁₂

在圆锥曲面基础上叠加的高阶多项式修正项，用于精确控制面型形状，校正残余像差。

单位：mm⁻¹ ~ mm⁻¹¹

工程意义：高阶系数越靠近零越容易加工；系数绝对值越大，制造难度和检测复杂度越高。

矢高

Sag (z)

非球面表面相对于顶点切平面在指定径向位置处的轴向深度（或高度），是面型加工和检测的核心参量。

单位：mm

工程意义：矢高是光学加工中磨削和抛光控制的关键量，也是干涉检测中面型偏差的基准。

最佳拟合半径

R_bf

在指定口径范围内，与非球面矢高最接近的球面半径。由 R_bf = (y² + z²) / (2z) 计算。

单位：mm

工程意义：用于确定检测用的参考球面半径（如干涉仪参考镜），是光学检测中最重要的参考参数。

FORMULAS

核心公式

非球面矢高计算涉及的关键公式

1

非球面矢高方程

z(r) = cr² / [1+√(1−(1+k)c²r²)] + ΣA₂ₙr²ⁿ

非球面矢高的完整表达式，第一项为圆锥曲线基项，第二项为偶次高阶修正项之和（n = 1,2,…,6 对应 A₂~A₁₂）。

2

曲率定义

c = 1 / R

曲率 c 为曲率半径 R 的倒数。正值对应凸面（朝向入射光），负值对应凹面。

3

最佳拟合球面半径

R_bf = (y² + z²) / (2z)

其中 y = D/2 为半口径，z 为边缘矢高。该球面在边缘处与非球面矢高匹配，用于干涉检测参考面。

4

非球面偏离量

Δz = z_aspheric − z_sphere

非球面相对于最佳拟合球面的偏离量，反映非球面修正量。偏离量越大，制造和检测难度越高。

5

球面矢高

z_sph = R − √(R² − r²)

标准球面在径向 r 处的矢高，用于与非球面矢高比较，评估非球面修正量。

6

圆锥截面分类

k=0→球面 | k>0→椭球 | k=−1→抛物 | k<−1→双曲

圆锥常数 k 决定了基面型的几何类型。不同 k 值对应不同的圆锥截面曲线。

COMMON MISTAKES

常见误区

非球面设计与检测中容易犯的错误

A₂ 系数与其他高阶系数定义不同

不同光学厂商对 A₂ 的定义不同。有些厂商将 A₂ 并入曲率半径中（即 R 已包含 A₂ 的影响），有些则显式保留。使用 Thorlabs 数据时，A₂ 通常为 0 或很小，因为曲率半径已吸收该效应。跨厂商对比数据时务必确认定义。

忽略曲率半径的符号约定

不同光学教材和厂商的曲率半径符号约定可能不同。在矢高公式中，R 的正负直接影响矢高的正负（凸/凹面）。代入公式时必须保持一致的符号约定，否则计算结果完全相反。

最佳拟合半径 = 顶点曲率半径

最佳拟合半径 R_bf 不等于顶点曲率半径 R。R_bf 考虑了整个口径范围内的非球面偏离，通常与 R 有明显差异。在非球面检测中，应使用 R_bf 作为干涉仪参考面，而非 R。

高阶系数可以随意截断

高阶非球面系数不是简单的精度修正，每一项都对特定径向区域的面型有贡献。随意忽略高阶项（即使数值很小）可能导致边缘区域的面型偏差显著增大，影响成像质量。

矢高越大加工越困难

矢高本身不是加工难度的唯一决定因素。更关键的是非球面偏离量（Δz）及其空间频率分布。一个矢高很大但接近球面的元件可能比矢高小但高频偏离大的元件更容易加工。

抛物面 k = −1 时无需高阶项

对于无限远目标成像，理想抛物面确实只需要 k = −1。但实际应用中，非球面反射镜往往还需要高阶修正来补偿系统其他元件的残余像差，因此抛物面反射镜也可能有非零的高阶系数。

PRACTICAL EXAMPLES

应用实例

典型的非球面参数与计算场景

1

典型非球面透镜矢高计算

已知条件

D = 25 mm

R = 50 mm

k = −1（抛物面）

A₄ = 1×10⁻⁶ mm⁻³

其余高阶项 = 0

计算曲率：c = 1/R = 1/50 = 0.02 mm⁻¹

半口径：r = D/2 = 12.5 mm

圆锥基项：z_conic = cr²/[1+√(1−(1+k)c²r²)] = 0.02×156.25/[1+√(1−0)] = 3.125/(1+1) = 1.5625 mm（k=−1 时分母恰好为 2）

高阶修正：A₄r⁴ = 1×10⁻⁶ × 12.5⁴ = 0.0244 mm

总矢高：z = 1.5625 + 0.0244 = 1.5869 mm

最佳拟合半径：R_bf = (12.5² + 1.5869²)/(2×1.5869) = 49.96 mm

💡 要点：抛物面（k=−1）的圆锥基项分母简化为 2，计算较为简洁。高阶项 A₄ 虽系数小，但 r⁴ 放大后仍有约 0.024mm 的贡献，不可忽略。

2

非球面与球面的差异分析

已知条件

D = 50 mm

R = 100 mm

k = −0.5

A₄ = 5×10⁻⁸ mm⁻³

球面矢高：z_sph = R − √(R²−r²) = 100 − √(10000−625) = 100 − 96.825 = 3.175 mm

非球面圆锥基项：c=0.01, r=25, (1+k)=0.5 → z_conic = 0.01×625/[1+√(1−0.5×0.0001×625)] = 6.25/[1+√0.96875] = 6.25/1.9843 = 3.150 mm

高阶修正：A₄r⁴ = 5×10⁻⁸ × 390625 = 0.0195 mm

非球面总矢高：z = 3.150 + 0.0195 = 3.170 mm

偏离量：Δz = 3.170 − 3.175 = −0.005 mm

💡 要点：在此例中，非球面偏离量仅 5μm，但已远超 λ/4@632.8nm ≈ 0.158μm 的干涉检测精度要求。说明即使是微小的非球面偏离，在精密光学中也有重要影响。

⚠

常见错误：忽略高阶系数的影响

场景描述

某非球面聚光镜

D = 50 mm，R = 80 mm

k = −1.2，A₆ = 2×10⁻¹¹

错误做法：仅计算圆锥基项，忽略所有高阶系数，认为 A₆ = 2×10⁻¹¹ “足够小”

实际计算：A₆r⁶ = 2×10⁻¹¹ × 25⁶ = 2×10⁻¹¹ × 2.44×10⁸ = 0.0049 mm

这 4.9μm 的偏差可能超过系统允许的波前误差容限

正确做法：始终代入所有非零高阶系数，即使其数值看似很小

💡 要点：高阶系数的”小”是相对的。当径向距离 r 较大时，高次幂 r²ⁿ 会将小系数放大为不可忽略的贡献。在口径较大的系统中，A₆、A₈ 等项可能产生数微米的偏差。

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非球面矢高计算器 – 非球面Sag与最佳拟合半径计算工具

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