核心公式与原理
常见问题（FAQ）
什么是高斯光束的复光束参数 q？
q = z + i·z_R，或等价写成 1/q = 1/R − iλ/(π w²)。它把束腰位置、光斑半径 w 与波前曲率 R 统一成一个复数，是 ABCD 高斯光束分析的核心变量：只要知道某处的 q，就能立刻算出该处 w、R 与束腰信息。
什么是 ABCD 矩阵（光线传输矩阵）？
在近轴近似下，光线用向量 (r, θ) 表示（r 离轴高度，θ 倾角），每个光学元件用 2×2 矩阵 M=[[A,B],[C,D]] 描述其对光线的作用；系统总矩阵等于各元件矩阵按光路先后顺序相乘。
常用元件的 ABCD 矩阵有哪些？
自由空间长度 L：[[1, L],[0, 1]]；薄透镜焦距 f：[[1, 0],[−1/f, 1]]；此外折射球面、反射镜、介质板等也都有对应矩阵。本工具支持最常用、也最基础的自由空间与薄透镜两类元件。
如何用 ABCD 矩阵传播 q 参数？
给定系统矩阵 M=[[A,B],[C,D]] 与输入复光束参数 q_in，输出为 q_out = (A·q_in + B)/(C·q_in + D)。这就是高斯光束经过任意透镜组的统一传播公式，无需逐段展开。
瑞利范围（Rayleigh range）z_R 是什么？
z_R = π·w₀²/λ，是束腰两侧光斑增大到 √2 倍 w₀ 的距离。它衡量光束的「准直长度」：z_R 越大，光束在越长的距离内近似平行。
光斑半径 w(z) 与波前曲率 R(z) 怎么算？
w(z)=w₀√(1+(z/z_R)²)，R(z)=z(1+(z_R/z)²)，z 从束腰起算。z=0 时 w=w₀、R=∞（平面波前）；远离束腰时 R→z、w 线性增大。
薄透镜如何改变高斯光束？单透镜聚焦公式是？
薄透镜只改变波前曲率、不改变该处的光斑大小。若输入束腰距透镜 z、瑞利范围 z_R，则新束腰 w₀′=w₀·f/√((z−f)²+z_R²)，新腰位置 s′=f+f²(z−f)/((z−f)²+z_R²)（自透镜起算）。
多透镜系统（如光束扩束器）怎么分析？
把每个自由空间段与透镜依次用 ABCD 串接，再用 q_out=(Aq+B)/(Cq+D) 求末态。两片透镜 f₁、f₂ 间距适当可构成望远镜：角放大率 ≈ −f₁/f₂，束腰（光斑）放大率 ≈ |f₂/f₁|。
为什么自由空间段可以直接把 q 加上距离 L？
自由空间矩阵 [[1,L],[0,1]] 作用于 q 得到 q′=q+L（实部加 L、虚部不变），等价于沿光轴平移 L，因此逐段累加即可，无需反复套用分式。
输出束腰位置出现「元件前」是什么意思？
工具报告的束腰位置是相对最后一个元件界面的绝对坐标；若相对值小于 0，说明实际束腰位于最后一个元件之前（即在该元件上游已经形成会聚焦点），而非其下游。
能否考虑光束质量因子 M²？
本工具默认 M²=1（理想基模 TEM₀₀）。对多模或实际光束，可在公式中把 λ 替换为 M²·λ（等效波长法），即可近似得到 M² 退化后的光斑与瑞利范围。
哪些场景会用到这个工具？
激光聚焦光斑设计、光束扩束/缩束、透镜把光耦合进光纤或晶体、谐振腔模式分析、空间滤波与准直系统调试等——凡是涉及「高斯光束经过多个透镜如何演化」的场合。
怎么读 w(z) 曲线图？
横轴为沿光路距离 z(mm)，纵轴为光斑半径 w(µm)；红色虚线标出透镜位置，红点为输出束腰，绿点为输入束腰，曲线最低点即最小光斑（束腰）。
计算结果的单位约定？
波长 λ 用 nm，长度（L、f、z、z_R）用 mm，束腰与光斑 w 用 µm 显示；工具内部统一换算到 mm 计算，避免单位混乱。