📐 球面矢高与非球面计算器
输入径向距离和曲率半径，计算精确矢高、近轴近似及非球面偏差
mm
入射高度（口径半高度）
mm
正值=凸面，负值=凹面，R≠0
📊 计算结果
📐 精确矢高
—
mm
📏 精确矢高
—
μm
📉 近轴近似
—
mm
🔬 偏差（vs 近轴）
—
nm
公式详解
从球面到非球面，矢高计算的完整数学描述
① 精确球面矢高
sag = R − √(R² − y²)
R：曲率半径（mm）；y：径向距离/入射高度（mm）。该公式由球面方程 z² + y² = R² 导出，对所有 y ≤ |R| 有效。当 y = |R| 时为半球（sag = |R|）。
② 近轴近似（小口径）
sag ≈ y² / (2R)
当 y ≪ R 时，精确公式可泰勒展开取首项。适用条件：y/R < 0.3 时误差 < 1%。大口径或短焦距时偏差显著，必须使用精确公式。
③ 圆锥曲面方程
sag = c·y² / (1 + √(1 − (1+k)·c²·y²))
c = 1/R：曲率（mm⁻¹）；k：圆锥常数。k=0 时退化为球面；k=−1 为抛物面；k<−1 为双曲面；−1<k<0 为椭球（长轴）；k>0 为椭球（短轴）。
④ 一般非球面方程
sag = 圆锥曲面项 + A₄y⁴ + A₆y⁶ + A₈y⁸ + A₁₀y¹⁰
高阶项 A₄~A₁₀ 用于在圆锥曲面上叠加精细修正。注意各系数的单位不同：A₄ 为 mm⁻³，A₆ 为 mm⁻⁵，A₈ 为 mm⁻⁷，A₁₀ 为 mm⁻⁹。量级通常在 10⁻⁶~10⁻¹⁰ 之间。
⑤ 圆锥常数 k 对照表
| k 值 | 曲面类型 | 典型应用 |
|---|---|---|
| k = 0 | 球面 | 普通透镜 |
| k = −1 | 抛物面 | 消球差反射镜 |
| k < −1 | 双曲面 | 卡塞格伦系统 |
| −1 < k < 0 | 椭球（长轴） | 椭球反射聚光 |
| k > 0 | 椭球（短轴） | 特殊聚光系统 |
⑥ 工程意义：矢高与检测
矢高是光学表面面形检测的核心参数。干涉仪测量的是实际表面与参考球面的偏差（即 Δsag），抛光裕量也由矢高公差决定。非球面的矢高偏差通常在 μm 量级，而球面加工精度可达 λ/10 ≈ 50 nm。
参数详解
影响矢高计算的三个关键参数
曲率半径 R
- 球面顶点到曲率中心的距离（mm）
- 正号 = 凸面（曲率中心在面后），负号 = 凹面
- R 越小 → 曲率越大 → 矢高越大
- R → ∞ 时表面趋近于平面，矢高趋近 0
- 工业镜头常用 R = 10~500 mm
径向距离 y（口径）
- 光轴到边缘的垂直距离（mm）
- 口径 = 2y，即光学通光直径
- 物理限制：y ≤ |R|（否则超出球面）
- y = |R| 时为半球，矢高 = |R|
- y/R 越大，近轴近似误差越大
圆锥常数 k
- 决定曲面是球面、抛物面还是双曲面
- k = 0：标准球面
- k = −1：抛物面（消除球差）
- k < −1：双曲面（卡塞格伦望远镜）
- 高阶非球面系数 A₄~A₁₀ 在圆锥曲面上叠加精细修正
📋 常见球面矢高值速查
不同曲率半径和口径下的球面矢高（单位：mm）
| R (mm) \ y (mm) | y = 5 | y = 10 | y = 12.5 | 近轴适用条件 |
|---|---|---|---|---|
| R = 25 | 0.5133 | 2.1690 | 3.6068 | y/R < 0.15 |
| R = 50 | 0.2513 | 1.0102 | 1.5877 | y/R < 0.15 |
| R = 100 | 0.1253 | 0.5013 | 0.7886 | y/R < 0.2 |
| R = 200 | 0.0625 | 0.2502 | 0.3911 | y/R < 0.3 |
⚠️ 常见误区与注意事项
矢高计算中最容易混淆的几个问题
近轴近似”精度足够”？
当 y/R 较大时，近轴近似偏差可达数十 μm。例如 y=10, R=50 时偏差达 10.2 μm，远超 λ/4 面形精度要求。大口径系统必须使用精确公式。
曲率半径 R 的正负号无关紧要？
R 的正负号表示凸面（R>0）或凹面（R<0）。在光路追迹中，正负号决定了光线偏折方向。如果符号错误，矢高计算结果虽然相同（因为 R² 消去了符号），但在多面系统中的累积效果完全不同。
圆锥常数 k 越大越好？
k 不代表”阶数高低”，而代表曲面类型。k=−1 的抛物面是消除球差的常用特例，比 k=0 球面在很多场景中”更好”。选择 k 值取决于设计目标，而非盲目追求某个方向。
高阶系数 A₄~A₁₀ 单位相同？
不同！A₄ 的单位是 mm⁻³，A₆ 是 mm⁻⁵，A₈ 是 mm⁻⁷，A₁₀ 是 mm⁻⁹。它们的典型量级也不同（10⁻⁶~10⁻¹⁰），输入时务必注意单位和数量级。
矢高可以用千分尺直接测？
不能简单地测量”中心到边缘的高度差”。矢高是相对基准面（通常是边缘切平面）的高度，需要专门的矢高仪或干涉仪测量，且需考虑基准面的定义。
R→∞ 时矢高不为零？
R→∞ 是平面的极限情况。从公式看：sag = y²/(2R) → 0。平面是无曲率的极限，矢高恒为零。如果你算出 R 很大但矢高不为零，说明口径 y 也很大。
💡 常见应用场景
🔬
光学表面检测 / 干涉仪校准
干涉仪测量的是实际表面与参考球面的偏差（Δsag），需要精确的矢高计算来确定参考面和公差。面形精度要求达到 λ/20 甚至更高。
🏭
非球面模具加工
非球面镜（如抛物面反射镜）的单点金刚石车削需要实时补偿矢高偏差。控制系统依据理论矢高曲线驱动刀具路径，加工精度依赖精确的非球面方程。
👁️
隐形眼镜 / 角膜地形图
人眼角膜近似为非球面（k ≈ −0.26），隐形眼镜基弧设计需匹配角膜矢高曲线。角膜地形图仪测量不同径向位置的矢高来重建表面形状。
📋 常见问题
Q：矢高（sag）到底是什么？
矢高是光学表面在径向距离 y 处相对于顶点切平面的轴向深度。简单说，就是球面或非球面”凹进去”或”凸出来”的高度。单位通常为 mm 或 μm。
Q：球面公式和圆锥曲面公式在 k=0 时结果一致吗？
一致。当 k=0 时，圆锥曲面公式 c·y²/(1+√(1−c²y²)) 数学上等价于 R−√(R²−y²)。两者可通过有理化恒等变换互推。
Q：近轴近似在什么条件下误差小于 1%？
当 y/R < 0.15（即 y²/R² < 0.0225）时，近轴近似误差约 < 1%。对于 R=50 mm 的镜片，y 需 < 7.5 mm。大口径镜头或短焦距系统通常不满足此条件。
Q：抛物面（k=−1）和球面的矢高差异大吗？
在大口径时差异显著。例如 y=12.5 mm, R=50 mm 时，Δsag ≈ 25.2 μm，远超光学面形精度要求（通常 λ/4 ≈ 0.16 μm）。这就是为什么大口径反射镜必须使用抛物面而非球面。