🔭 F/# & 数值孔径计算器
F/# & 数值孔径计算器
计算光学系统的 F 数（光圈值）与数值孔径 N.A.，理解两种描述通光能力的表达方式之间的换算关系，帮助激光系统设计选型。
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F 数
F/# = f / D
焦距 ÷ 入瞳直径
数值孔径
N.A. = n·sin θ
介质折射率 × 半角正弦
换算关系
F/# ≈ 1 / (2 · N.A.)
（空气中，小角度近似）
🔭 F/# & N.A. 计算器
输入焦距和入瞳直径，或已知 N.A. 反求 F/#，自动计算全部参数
mm
透镜或光学系统的有效焦距
mm
光阑或入瞳的有效直径
空气=1.0，水=1.333，油浸=1.515
📊 计算结果
🔭 F 数 F/#
—
f/D
📐 数值孔径 N.A.
—
无量纲
📏 半锥角 θ
—
°
公式详解
F 数和数值孔径是描述光学系统通光能力的两种等价方式
① F 数定义
F/# = f / D
f：有效焦距（mm）；D：入瞳直径（mm）。F 数越小，系统集光能力越强，焦距面处光斑越小。
② 数值孔径定义
N.A. = n · sin θ
n：像方介质折射率；θ：光线半锥角（从焦点到入瞳边缘的张角）。N.A. 越大，分辨率越高，集光能力越强。
③ 半角与焦距/入瞳的关系
θ = arctan ( D / 2f )
由几何关系，焦点对入瞳的半锥角 θ 满足 tan θ = D/(2f)。代入②式即可得精确 N.A.。
④ F/# 与 N.A. 的换算
F/# = n / (2 · sin θ) = n / (2 · N.A.)
精确关系（非近似）。空气中 n=1 时，F/# = 1/(2·N.A.)，即 N.A. = 1/(2·F/#)。
⑤ 小角度近似
N.A. ≈ D / (2f) = 1 / (2 · F/#)
当 F/# 较大（>5）时，sin θ ≈ tan θ ≈ θ，两者近似相等。F/# 较小时（如 F/1.2）差异显著，必须用精确公式。
⑥ 工作 F 数（有限共轭距）
F/#working = (1 + m) · F/#∞
m：横向放大倍率（像高/物高）。当物距有限时，有效 F 数增大，分辨率降低。激光加工中 m 通常很小，可忽略。
参数详解
F 数、N.A. 和半锥角三者之间的关系
F 数 F/#
- 摄影中称为光圈值（f/1.4, f/2.8, f/5.6 …）
- 每档光圈 F 数相差 √2 ≈ 1.414 倍
- 工业镜头常见范围：F/1.2 ~ F/22
- F 数越小 → 通光量越大 → 焦点光斑越小
数值孔径 N.A.
- 显微镜物镜常用标注（0.1, 0.25, 0.95 …）
- N.A. = n·sinθ，最大受限于介质折射率
- 空气中最快约 N.A. = 0.95（F/0.53）
- 油浸物镜可达 N.A. = 1.4（F/0.36）
- N.A. 直接决定衍射极限分辨率
半锥角 θ
- 从焦点到入瞳边缘的张角的一半
- θ = arctan(D/2f)
- F/1.0 时 θ ≈ 26.6°
- F/5.6 时 θ ≈ 5.1°
- 激光加工中影响焦点功率密度分布
📋 常用 F/# 与 N.A. 对照表
空气中（n = 1.0）的精确换算
| F/# | N.A.（精确） | N.A.（近似） | 半角 θ | 典型应用 |
|---|---|---|---|---|
| F/1.0 | 0.4472 | 0.5000 | 26.57° | 超快显微镜物镜 |
| F/1.4 | 0.3307 | 0.3571 | 19.29° | 大光圈摄影镜头 |
| F/2.0 | 0.2425 | 0.2500 | 14.04° | 光纤耦合透镜 |
| F/2.8 | 0.1741 | 0.1786 | 10.02° | f-theta 场镜 |
| F/4.0 | 0.1231 | 0.1250 | 7.07° | 一般成像镜头 |
| F/5.6 | 0.0884 | 0.0893 | 5.08° | 标准摄影光圈 |
| F/8.0 | 0.0622 | 0.0625 | 3.56° | 高质量成像 |
| F/11 | 0.0453 | 0.0455 | 2.59° | 景深优先场景 |
| F/16 | 0.0312 | 0.0313 | 1.79° | 最大景深 |
⚠️ 常见误区与注意事项
F/# 与 N.A. 换算中最容易混淆的几个问题
F/# = 1/(2·N.A.) 总是成立？
这只是近似公式。精确关系为 F/# = n/(2·sinθ)，F 数较小时（如 F/1.2）误差可达 10% 以上。
N.A. 和 F/# 是同一个东西？
不是，但等价。N.A. 多用于显微镜和光纤领域，F/# 多用于摄影和工业镜头。两者可互相换算。
工作 F 数和标称 F 数一样？
镜头聚焦到近距离时，有效 F 数 = (1+m) × 标称 F 数。微距拍摄时影响显著，激光加工中 m 通常极小可忽略。
入瞳直径就是镜头外径？
不一定。入瞳是从物方看到的光阑像，可能小于镜头外径。多片镜组中前组可能放大或缩小入瞳。
忽略介质折射率？
油浸物镜的 N.A. 可超过 1.0，因为 n_油 ≈ 1.515。计算时必须代入介质折射率，不能默认 n=1。
F 数越小越好？
F 数越小通光越大，但像差更严重、景深更浅。光学设计需要在通光量、像质和景深之间权衡。
💡 常见应用场景
🔬
激光聚焦系统设计
选择聚焦透镜时，F 数决定焦点光斑大小和功率密度。F/2.8 的场镜比 F/5.6 的场镜产生更小的加工光斑。
🔗
光纤耦合匹配
光纤的接受 N.A. 决定了耦合透镜的 F 数要求。透镜 F 数必须 ≤ 光纤 N.A. 对应的 F 数，否则部分光无法进入光纤。
📷
成像系统选型
相机镜头 F 数影响进光量和衍射极限分辨率。高分辨率成像需在 F 数、传感器像素和光学像差之间找到平衡。
📋 常见问题
Q：F 数越小为什么光斑越小？
衍射极限光斑直径 d ≈ 2.44·λ·F/#。F 数越小，焦点处衍射斑越小，功率密度越高。这也是为什么激光加工用 F/2.8 甚至更小的场镜。
Q：为什么显微镜用 N.A. 而相机用 F 数？
历史习惯。显微镜物镜固定焦距，关注的是像方集光能力（N.A. 更直观）；相机镜头需要变焦，用 F 数更方便统一标定。
Q：N.A. 能超过 1.0 吗？
可以，但只在浸没介质中。N.A. = n·sinθ，空气中 n=1，sinθ 最大=1，所以 N.A.≤1。但油浸物镜 n≈1.515，N.A. 可达 1.4。
Q：F/1.0 的光学系统存在吗？
存在但极难设计。F/1.0 要求入瞳直径等于焦距，对应半锥角 26.6°，像差校正非常困难。Leica 曾生产过 Noctilux 50mm F/1.0 镜头。