高斯光束的基本性质

一句话理解：高斯光束（Gaussian Beam，TEM₀₀基模）是绝大多数激光器实际输出的光束形式，其任一横截面上的光强都按高斯函数 e^−2ρ²/w² 分布，在束腰处最细、向外以固定发散角扩散。描述它只需要两个独立参数——束腰半径 w₀ 与 波长 λ，由此可确定瑞利长度、发散角、焦深、波前曲率半径等全部参数。本文给出全部核心公式，并附 3 道带完整数值解答的例题。

高斯光束的复振幅与基本参数

高斯光束是傍轴亥姆霍兹方程的一个解，其功率主要集中在以光轴为中心的圆柱体内，而任何横向平面上的光强分布都满足圆对称高斯函数，其宽度在束腰处最小。此处忽略推导，直接给出高斯光束的复振幅：

以及高斯光束的四个重要参数：

复振幅表达式中包含A₀和z₀两个互相独立的参数，其中A₀是一个常数，z₀为瑞利长度，而两者都可根据边界条件确定。四个参数分别表示光束半径、曲率半径、相位和束腰半径，它们都可通过瑞利长度z₀和波长λ确定。

核心公式与符号速查

符号	含义	常用单位	关系 / 说明
w₀（W₀）	束腰半径	mm / μm	光束最细处半径，两个独立参数之一
λ	波长	nm	介质中取介质波长，另一个独立参数
z₀（zR）	瑞利长度（瑞利距离）	mm	z₀ = πw₀²/λ
w(z)	z 处光束半径（1/e² 定义）	mm	w(z)=w₀√[1+(z/z₀)²]
θ₀	远场半发散角	mrad	θ₀ = λ/(πw₀)
DOF / b	焦深（共焦长度）	mm	DOF = 2z₀
R(z)	波前曲率半径	mm	R(z)=z[1+(z₀/z)²]
ζ(z)	古依相位（Gouy Phase）	rad	ζ=arctan(z/z₀)，全程累计 π
I₀	束腰中心峰值光强	W/cm²	I₀ = 2P/(πw₀²)

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光束强度(I)

光强是轴向位置z和径向位置ρ的函数：

其中I₀为A₀的平方。对于任意的z值，光强总是ρ的高斯函数，故名高斯光束，它的强度在轴上(ρ = 0)具有最大值，然后随ρ增大而减小。下图展示了归一化光强在三个轴向位置上随径向距离的变化。显然，光束尺寸随轴向距离增大而增大。

z = 0

z = z₀

z = 2z₀轴上光强(ρ = 0)可简化为：

它在z = 0时取最大值I₀，然后随z增大而逐渐减小，而在±z₀处减小为最大值的一半。当z远大于z₀时，轴上光强和z²成反比：

就整个高斯光束而言，中心处具有最大光强：

由于高斯光束的不均匀轮廓(峰值强度约为均匀光束强度的两倍)，因此分析激光是否可能损伤光学元件时，需要将高斯光强乘以2后计算最大线性功率密度(W/cm)，然后将结果与光学元件的损伤阈值进行对比，确保实际值小于阈值。

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光束功率(P)

总光功率是光强在任意横向平面上的积分：

因此，光束功率为峰值强度和束腰面积乘积的一半，并且和轴向位置无关。为了测量不同光源的功率，需要使用合适的光功率探头和表头。

Thorlabs 提供多种光功率探头、能量探头和功率/能量表头（如 PM100D 系列、PM160 无线手持功率计及各类光电二极管/热释电探头），选型指南与技术参数可前往 Thorlabs 中文官网查看：光功率和能量计（Thorlabs 中文官网）。

对于给定的z值，半径为ρ₀的圆内包含的功率与总功率之比为：

当ρ₀ = W(z)时，圆内功率占比约为86%；当 ρ₀ = 1.5W(z)时，圆内功率占比约为99%。因此在实际应用中，光束直径应远小于光学元件的通光孔径，通常是将光束直径限制在反射镜直径的三分之一以内。

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光束半径(W)

在任意横向平面内，光束强度在光轴上具有最大值，在ρ = W(z)时降为最大值的1/e²，而以W(z)为半径的圆内包含了总功率的86%，因此我们将其称为光束半径或宽度，并可根据下式计算：

当z = 0时，光束半径具有最小值W₀。这个位置叫做束腰，而W₀为束腰半径。如下图所示，光束半径随轴向距离z增大而增大，并在瑞利距离处增大为束腰半径的√2倍；图中还展示了DOF(焦深)和半发散角。

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光束发散

当z远大于z₀时，光束半径和z近似成正比：

从上图可以看出，光束在半角为θ₀的圆锥内发散，而圆锥内的功率和总功率之比约为86%。这个角度叫做半发散角，它和波长成正比，和束腰半径成反比，因此方向性非常好的光束需具有短波长和大束腰；工程上常用激光扩束镜放大束腰来压缩发散角。

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焦深

因为光束半径在z = 0时最小，所以最佳聚焦也在对应平面上。不管从哪个方向偏移，光束都将逐渐失焦。在光束半径不超过束腰半径√2倍的轴向距离内，即光束面积不超过束腰面积的2倍，这个距离叫做焦深。

焦深显然为瑞利距离的两倍：

由于焦深和束腰面积成正比，并且和波长成反比，因此只有短波长才可能同时具有小束腰和长焦深。比如，对于波长633 nm的氦氖激光器，当束腰半径为10 mm时，焦深约为1000 m；当束腰半径减小到10 µm时，焦深只有1 mm。

下面是高斯光束相关演示视频，来自 MIT《激光与光学视频演示》公开课（Video Demonstrations in Lasers and Optics, RES.6-006），形象演示了高斯光束的发散、空间滤波、激光散斑和瑞利距离等内容。

相位

根据复振幅可知高斯光束的相位为：

当ρ = 0时，相位只包含两项：

其中第一项为平面波相位，而第二项是一个相位延迟：

这个相位(ζ)叫做古依相位(Gouy Phase)，相当于轴上位置的波前相对于平面波的超额延迟。如下图所示，古依相位的范围从-π/2到+π/2；当光波从负无穷远传播到正无穷远时，累积的总延迟等于π。古依相位的变化在焦深范围内最为明显，但在远离瑞利范围的区域内很小。

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波前

在前面的高斯光束相位表达式中，第三项是导致波前出现弯曲的原因，表示给定横向平面内离轴点相对于轴上点的相位偏差。在轴上z点处，高斯光束的波前曲率半径为：

当z = 0时，R为无穷大，所以波前是平面的，而整个波的方向是相同的。当z = z₀时，曲率半径降低到最小值2z₀，随后逐渐随z增大而增大。当z远大于z₀时，曲率半径约等于z，所以波前近似为球面。负方向的波前变化趋势相同，但方向相反。

习题与完整解答

例题1：高斯光束参数计算（HeNe 激光器）

1. 高斯光束参数示例假设氦氖激光器输出波长633 nm、功率1 mW、束腰半径0.05 mm的高斯光束。a. 确定发散角、焦深以及传播35万千米(接近地球到月球的距离)时的直径。b. 确定等于z=0、z₀或2z₀时的波前曲率半径。c. 确定等于z=0或z₀时的轴上光强，并以W/cm²为单位表示。对于从z=0发射的100 W球面波，将其传播至z=z₀时强度和上述两点处的高斯光束强度进行对比。解  a. 根据相应的公式和数值：θ₀ = λ/(πW₀) = 4.03 mradz₀ = W₀/θ₀ = 12.4 mm当光束传播至35万千米时，光束直径为：2W = 2θ₀z = 2821 kmb. 波前曲率半径：R(z = 0) = ∞R(z = z₀) = 2z₀ = 25 mmR(z = 2z₀) = z[(1+(z₀/z)²] = 31 mmc. 光束中心的强度：I = I₀ = 2P/πW₀² = 25.46 W/cm²瑞利距离处的轴上强度：I = I₀[W₀/W]² = 0.5I₀ = 12.73 W/cm²当100 W球面波传播至z = z₀ = 12.4 mm处时：

I = P/4πz² = 5.169 W/cm²

例题2：由光束半径与波前曲率反推参数

2. 根据光束半径和波前曲率确定其它参数假设高斯光束在某个点上的光束半径为W，而波前曲率半径为R。请证明从这个点到束腰的距离为：

束腰半径根据下式计算：

证  根据光束半径和波前曲率半径公式：

两边相除并整理可得：

将上式改写为：

将(5)分别代入(4)和(3)即可得证。

例题3：由两个波前曲率确定束腰位置与瑞利长度

3. 根据两个曲率确定其它参数假设高斯光束在两个点上的波前曲率半径R₁和R₂，而两点之间的距离为d。请证明光束中心的位置和瑞利距离分别可用下面两式确定。

证  根据z₂ = z₁ + d和波前曲率半径：

将其写成以z₀和z₁为未知数的方程组：

解方程组可得到(6)和(7)式。

高斯光束常见问题（FAQ）

什么是高斯光束？

高斯光束是横向电场与光强分布近似服从高斯函数的激光光束，对应谐振腔的基横模 TEM₀₀。它在束腰处最细，向两侧平滑发散，是绝大多数单模激光器输出光束的理想模型。

什么是束腰和束腰半径 w₀？

束腰（beam waist）是光束直径最小的位置，该处半径记为 w₀。束腰处波前为平面、光强最大。w₀ 与波长 λ 是描述一束高斯光束仅需的两个独立参数。

瑞利长度（瑞利距离）是什么？

瑞利长度 z₀ = πw₀²/λ，是从束腰到光束半径增大为 √2·w₀（截面积翻倍、轴上光强减半）处的距离。z₀ 以内光束近似平行，因此也叫准直距离；共焦长度（焦深）= 2z₀。

为什么束腰越小、发散角越大？

远场半发散角 θ₀ = λ/(πw₀)，与束腰半径成反比、与波长成正比。这是衍射的必然结果：想聚焦得越细（w₀ 小），光束发散得越快，二者乘积 w₀θ₀=λ/π 对固定波长为常数。工程上用扩束镜先放大束腰来压缩发散。

高斯光束的 1/e² 半径是什么意思？

w(z) 定义为光强下降到轴上峰值的 1/e²（约 13.5%）处距光轴的半径。该圆内包含约 86.5% 的总功率；半径取 1.5w 时包含约 98.9% 的功率。

如何计算高斯光束中心峰值光强？

束腰中心峰值光强 I₀ = 2P/(πw₀²)，约为同等总功率均匀光斑的 2 倍。评估光学元件是否会被打坏时，应按这个峰值（而非平均功率密度）对照损伤阈值。

古依相位（Gouy Phase）是什么？

古依相位 ζ=arctan(z/z₀) 是高斯光束相对理想平面波额外获得的轴向相位，从束腰前的 −π/2 平滑变化到其后的 +π/2，全程累计 π，是高斯光束经过焦点时的特征相移。

高斯光束和 M² 光束质量因子是什么关系？

理想基模高斯光束 M²=1；实际光束因含高阶模，M²>1。真实光束的发散角、瑞利长度等可用 M² 修正：θ=M²·λ/(πw₀)。M² 越接近 1，光束越接近理想高斯光束、越容易聚焦和准直。

延伸阅读与参考

• 扩束镜是什么？激光扩束原理、分类与选型（如何用扩束压缩高斯光束发散角）
• 平场镜（F-Theta 场镜）原理与选型（高斯光束在打标工作面的聚焦）
• 激光损伤阈值 LIDT 百科（峰值功率密度与元件选型）
• 光阑（虹膜光阑）工作原理与束径匹配
• 保偏光纤百科（高斯光束的光纤耦合与模场匹配）
• 权威参考：RP Photonics Encyclopedia — Gaussian Beams
• 权威参考：Thorlabs — Gaussian Beam Optics 教程
• 演示视频：MIT OCW《Video Demonstrations in Lasers and Optics, RES.6-006》（见上文内嵌播放器）